Hur man beräknar arean för ett parallellogram byggt på vektorer

På alla två icke-kollinära och icke-noll-vektorer kan ett parallellogram konstrueras. Dessa två vektorer kommer att kontrahera ett parallellogram om du kombinerar deras ursprung på en punkt. Slut på sidorna på figuren.

Bruksanvisning

1

Hitta vektorernas längder om deras koordinater ges. Låt till exempel vektorn A ha koordinater (a1, a2) i planet. Då är vektorn A längd | A | = √ (a1² + a2²). På liknande sätt hittar vi modulen för vektorn B: | B | = √ (b1² + b2²), där b1 och b2 är koordinaterna för vektorn B på planet.

2

Parallellogramområdet hittas med formeln S = | A | • | B | • sin (A ^ B), där A ^ B är vinkeln mellan de givna vektorerna A och B. Sinus kan hittas genom kosinus med hjälp av den grundläggande trigonometriska identiteten: sin²α + cos²α = 1. Kosinus kan uttryckas i termer av skalprodukten av vektorer skrivna i koordinater.

3

Den skalära produkten av en vektor A med en vektor B betecknas med (A, B). Per definition är det lika med (A, B) = | A | • | B | • cos (A ^ B). Och i koordinater är skalprodukten skriven så här: (A, B) = a1 • b1 + a2 • b2. Härifrån kan vi uttrycka kosinus i vinkeln mellan vektorerna: cos (A ^ B) = (A, B) / | A | • | B | = (a1 • b1 + a2 • b2) / √ (a1² + a2²) • √ (a2² + b2²). I telleren skalarprodukten; i nämnaren vektorernas längder.

4

Nu kan vi uttrycka sinus från den huvudsakliga trigonometriska identiteten: sin²α = 1-cos²α, sinα = ± √ (1-cos²α). Om vi ​​antar att vinkeln a mellan vektorerna är akut kan minus med sinus kasseras, vilket bara lämnar plustecknet, eftersom sinus för den spetsiga vinkeln endast kan vara positiv (eller noll vid nollvinkel, men här är vinkeln icke-noll, detta visas i tillståndet icke-kollinearitet hos vektorer).

5

Nu måste vi ersätta koordinatuttrycket för kosinus i sinusformeln. Efter detta återstår det bara att skriva resultatet i parallellogramområdet. Om allt detta görs och det numeriska uttrycket förenklas, visar det sig att S = a1 • b2-a2 • b1. Således hittas området för parallellogrammet konstruerat på vektorerna A (a1, a2) och B (b1, b2) med formeln S = a1 • b2-a2 • b1.

6

Det resulterande uttrycket är determinanten för matrisen sammansatt av koordinaterna för vektorerna A och B: a1 a2b1 b2.

7

För att erhålla en bestämning av en matris med dimension två måste vi faktiskt multiplicera elementen i huvuddiagonalen (a1, b2) och dra ifrån produkten av elementen i sidodagonalen (a2, b1).