Hur man löser ekvationer med rötter

Ibland i ekvationerna finns det ett tecken på roten. Det verkar för många studenter att det är mycket svårt att lösa sådana ekvationer "med rötter" eller, mer korrekt uttryckta, irrationella ekvationer, men det är inte så.

Bruksanvisning

1

Till skillnad från andra typer av ekvationer, till exempel kvadratiska eller linjära ekvationssystem, finns det ingen standardalgoritm för att lösa ekvationer med rötter, eller mer exakt, irrationella ekvationer. I varje särskilt fall är det nödvändigt att välja den lämpligaste lösningsmetoden baserad på "utseendet" och egenskaperna hos ekvationen.

Att höja delar av ekvationen i samma grad.

För att lösa ekvationer med rötter (irrationella ekvationer) används oftast höjningen av båda sidorna av ekvationen i samma grad. Som regel i en grad lika med rotens grad (kvadrat för kvadratrot, kub för kubisk rot). Det bör komma ihåg att när han höjer vänstern och höger sida av ekvationen till en jämn grad kan han ha "extra" rötter. Därför bör man i detta fall kontrollera de erhållna rötterna genom att ersätta dem i ekvationen. Särskild uppmärksamhet vid lösning av ekvationer med kvadratiska (jämna) rötter bör ägnas åt intervallet med tillåtna värden för variabeln (ODZ). Ibland är uppskattningen av ODL ensam nog för att lösa eller väsentligt förenkla ekvationen.

Ett exempel. Lös ekvationen:

√ (5x-16) = x-2

Vi kvadrerar båda sidorna av ekvationen:

(√ (5x-16)) ² = (x-2) ², varifrån vi successivt får:

5x-16 = x²-4x + 4

h²-4x + 4-5x + 16 = 0

h-9x + 20 = 0

Lösning av den erhållna kvadratiska ekvationen, vi finner dess rötter:

x = (9 ± √ (81-4 ​​* 1 * 20)) / (2 * 1)

x = (9 ± 1) / 2

x1 = 4, x2 = 5

Genom att ersätta båda hittade rötter i den ursprungliga ekvationen får vi rätt jämlikhet. Därför är båda siffrorna lösningar för ekvationen.

2

Metod för introduktion av en ny variabel.

Ibland är det mer bekvämt att hitta rötter till en "ekvation med rötter" (en irrationell ekvation) genom att införa nya variabler. Faktum är att kärnan i denna metod helt enkelt reduceras till en mer kompakt registrering av lösningen, d.v.s. istället för att skriva ett skrymmande uttryck varje gång, ersätts det av en legend.

Ett exempel. Lös ekvationen: 2x + √x-3 = 0

Du kan lösa denna ekvation genom att kvadratera båda sidor. Beräkningarna i sig själva kommer dock att vara ganska besvärliga. Med införandet av en ny variabel kommer beslutsprocessen att bli mycket mer elegant:

Vi introducerar en ny variabel: y = √ x

Då får vi den vanliga kvadratiska ekvationen:

2y² + y-3 = 0, med variabel y.

Lösa den resulterande ekvationen, hittar vi två rötter:

y1 = 1 och y2 = -3 / 2, genom att ersätta de hittade rötterna i uttrycket för den nya variabeln (y), får vi:

√ x = 1 och √ x = -3 / 2.

Eftersom kvadratrotvärdet inte kan vara ett negativt tal (om du inte vidrör området med komplexa siffror) får vi den enda lösningen:

x = 1.

kvadratrotlösning