Hur man hittar området för ett cirkulärt segment

Ett av de vanliga geometriska problemen är att beräkna arean för ett cirkulärt segment - den del av en cirkel som avgränsas av ett ackord och motsvarande ackord för en båge i en cirkel.

Området för det cirkulära segmentet är lika med skillnaden mellan området för motsvarande cirkulär sektor och området för triangeln som bildas av radierna för det motsvarande segmentet av sektorn och det ackord som begränsar segmentet.

Exempel 1

Längden på ackordet som drar ihop en cirkel är lika med värdet på a. Graden av ljusbågen som motsvarar ackordet är 60 °. Hitta området för det cirkulära segmentet.

beslutet

En triangel som bildas av två radier och ett ackord är likställt, så höjden som dras från toppen av den centrala vinkeln till den sida av triangeln som bildas av ackordet kommer också att vara halvparten av den centrala vinkeln, halva den och median, halva ackordet. Genom att veta att sinus på vinkeln i en rätvinklad triangel är lika med förhållandet mellan motsatt sida och hypotenusen, kan vi beräkna radien:

Sin 30 ° = a / 2: R = 1/2;

R = a.

Området för sektorn som motsvarar en given vinkel kan beräknas med följande formel:

Sc = πR² / 360 ° * 60 ° = πa² / 6

Triangelns area som motsvarar sektorn beräknas enligt följande:

S ▲ = 1/2 * ah, där h är den höjd som dras från toppen av den centrala vinkeln till ackordet. Genom den Pythagoreiska teorem, h = √ (R²-a² / 4) = √3 * a / 2.

Följaktligen är S ▲ = √3 / 4 * a².

Segmentets område, beräknat som Sseg = Sc - S ▲, är lika med:

Sseg = πa² / 6 - √3 / 4 * a²

Genom att ersätta ett numeriskt värde istället för a kan du enkelt beräkna det numeriska värdet för segmentområdet.

Exempel 2

Cirkelns radie är lika med a. Graden av ljusbågen som motsvarar segmentet är 60 °. Hitta området för det cirkulära segmentet.